Вообще, в теме по приведённой Вами ссылке всё написано.
Если установка Mibew Messenger и сайт, на котором расположена кнопка чата, размещены на разных доменах, то куки, используемые при работе Mibew Messenger, современными браузерами трактуются как сторонние (third-party) и могут блокироваться из-за настроек приватности. Любой обход данного поведения - это, по сути, уязвимость в браузере. Т.е. даже если способ и найдётся, он рано или поздно (скорее - рано) станет нерабочим.
Единственный штатный вариант использования фрейма в случае разных доменов - убедить пользователей принудительно разрешить в настройках приватности установку сторонних кук для домена, на котором развёрнут Mibew Messenger. Если этого не сделать, оконный режим - единственный вариант, при котором чат сохранит свою работоспособность: без кук он работать не сможет, в оконном режиме куки не считаются сторонними.